母比率の検定とは
母比率の検定は、「母集団におけるある条件（例：車を所有している、投票に行ったなど）に該当する割合が、ある特定の値と異なるかどうか」を判断するための統計的な手法です。
サンプルと二項分布
ある母集団からランダムに \(n\) 人のサンプルを無作為抽出し、それぞれが条件\(A\)に該当するか否かを調べたとします。
このとき、条件\(A\)に該当した人数 \(x\) は、二項分布 \(B(n, p)\) に従うと考えることができます。
ここで
- \(n\)：調査対象の人数（標本サイズ）
- \(x\)：条件\(A\)に該当した人数
- \(p\)：母集団における条件Aに該当する「母比率（母割合）」
となります。
条件Aとは？
条件\(A\)とは、「該当／非該当」のどちらかに分類される 二値的な性質 を持つ条件です。
具体例としては、以下のようなものが挙げられます。
- 「車を所有しているかどうか」
- 「選挙で投票したかどうか」
- 「商品\(A\)を認知しているかどうか」
- 「製品が不良かどうか」
これらの条件は「はい／いいえ」で答えられるものであり、統計的に扱いやすい形です。
検定統計量 Z の式
二項分布 \(B(n, p)\) は、離散的な分布（0個、1個、2個…のように整数で表される）ですが、標本サイズ \(n\) が十分に大きく、かつ \(p\) が \(0\) や \(1\) に極端に偏っていない場合には、正規分布によって近似することができます。
帰無仮説 \(H_{0}: p = p_{0}\)（母集団の比率は特定の値 \(p_{0}\) である）という前提の下で、以下のような \(Z\)（検定統計量）を計算します。
$$z=\frac{\hat{p} – p_{0}}{\sqrt{p_{0}(1 – p_{0})/n}}$$
ここで
\(\hat{p}= x / n\)
\(p_{0}\) は仮定されている母比率（帰無仮説の値）
\(n\) は標本サイズ
分母の式は \(p_{0}\) に基づいた標準誤差（\(SE\)）
です。
検定の目的
計算された \(Z\)値に基づいて、次のように判断します。
- \(Z\)値が大きすぎる（または小さすぎる）場合
→ 母比率が \(p_{0}\) と異なる可能性が高い（＝帰無仮説を棄却） - \(Z\)値があまり極端でない場合
→ 標本の結果は偶然のばらつきの範囲と考えられる（＝帰無仮説を採択）
このようにして、調査結果が「偶然の誤差か、それとも有意な差か」を判断することができます。
マーケティング現場での活用例 — 新商品の認知率を検定
母比率の検定は、マーケティングの実務でも活用されています。
たとえば、ある飲料メーカーが新商品\(A\)を発売した後、「全国の消費者の \(20％\) 以上がこの商品を認知しているかどうか」を知りたいと考えているとします。
調査の背景
担当者は、調査会社に依頼して全国から無作為に \(1000\) 人の消費者を抽出し、次のような質問を行いました。
「あなたはこの商品（\(A\)）のことを知っていますか？」
その結果、\(220\) 人が「知っている」と回答しました。
仮説の設定
このとき、以下のように仮説を立てて母比率の検定を行うことができます。
- 帰無仮説（\(H_{0}\)）：全国の認知率は \(20％\) である（\(p = 0.20\)）
- 対立仮説（\(H_{1}\)）：全国の認知率は \(20％\) より高い（\(p > 0.20\)）
ここでは、片側検定（右側検定）を行います。
検定統計量の計算
標本比率は以下のとおりです。
$$\hat{p}= 220 ÷ 1000 = 0.22$$
標準誤差（標準偏差に相当）は以下のとおりです。
$$SE=\sqrt{p_{0}(1 – p_{0})/n}=\sqrt{(0.2 × 0.8)/ 1000} ≒ 0.0126$$
\(Z\) 値は以下のとおりです。
$$z=\frac{\hat{p} – p_{0}}{SE}= \frac{0.22 – 0.20}{0.0126} ≒ 1.58$$
有意水準と判定
ここでは有意水準を \(5％（0.05）\) とします。
片側検定の場合、\(Z\)の臨界値は約 \(1.645\) です。
- 計算した \(Z\)値（\(1.58\)）は、臨界値（\(1.645\)）より小さい。
- よって、帰無仮説を棄却できません。
- 結論として、今回の調査結果だけでは「認知率が \(20％\) より高い」とは統計的に言えません。
Pythonコード例
import math
from scipy.stats import norm
p0 = 0.20
phat = 220 / 1000
n = 1000
# 標準誤差（仮説の母比率を使用）
se = math.sqrt(p0 * (1 - p0) / n)
# Z値計算
z = (phat - p0) / se
# 片側検定のp値
pval = 1 - norm.cdf(z)
print(f"Z値: {z:.3f}, p値: {pval:.4f}")出力結果は以下のとおりです。
Z値: 1.581, p値: 0.0569この \(p\)値（約 \(0.057\)）は有意水準 \(0.05\) を上回るため、やはり帰無仮説は棄却されません。
製造業における活用例 — 不良率の管理と改善効果の検定
母比率の検定は、製造業の現場でも品質管理の指標として活用されています。
とくに、「不良品の割合（不良率）」が改善されたかどうかを客観的に判断する場面でよく使われます。
事例の背景
ある工場では、過去のデータから「製品\(X\)の不良率は \(3％（p = 0.03）\) 」と分かっています。
そこで品質改善活動を行い、その効果を検証するために、直近のロット（ \(1000\) 個）から製品を検査しました。
その結果、\(20\) 個の不良品が見つかりました（不良率 \(2％\) ）。
このとき、以下のように仮説を立てて検定を行います。
仮説の設定
- 帰無仮説（\(H_{0}\)）：不良率は改善しておらず、依然として \(3％\) である（\(p = 0.03\)）
- 対立仮説（\(H_{1}\)）：不良率は改善され、\(3％\) より低くなっている（\(p < 0.03\)）
ここでは、片側検定（左側検定）になります。
検定統計量の計算
標本比率は以下のとおりです。
$$\hat{p}= 20 ÷ 1000 = 0.02$$
標準誤差（標準偏差に相当）は以下のとおりです。
$$SE=\sqrt{p_{0}(1 – p_{0})/n}=\sqrt{(0.03 × (1 – 0.03)) / 1000} ≒ 0.0054$$
\(Z\)値は以下のとおりです。
$$ z=\frac{\hat{p} – p_{0}}{SE}= \frac{0.02 – 0.03}{0.0054} ≒ -1.85$$
判定
- 有意水準を \(5％\)（片側）とすると、臨界値は \(−1.645\)。
- \(Z\)値（ \(−1.85\) ）は臨界値（ \(−1.645\) ）より小さいので、帰無仮説は棄却される。
- 結論として、不良率は統計的に有意に改善されたと判断できる。
Pythonコード例
import math
from scipy.stats import norm
# 入力値
p0 = 0.03 # 仮説上の母比率（過去の不良率）
count = 20
n = 1000
# 標本比率
phat = count / n
# 標準誤差（母比率に基づく）
se = math.sqrt(p0 * (1 - p0) / n)
# Z値計算
z = (phat - p0) / se
# 左側検定のp値
pval = norm.cdf(z)
print(f"Z値: {z:.3f}, p値: {pval:.4f}")出力結果は以下のとおりです。
Z値: -1.854, p値: 0.0319\(p\)値が有意水準（ \(0.05\) ）より小さいので、やはり不良率は改善されたと判断できます。
ポイント
このように、母比率の検定を使えば「たまたま不良が少なかっただけかもしれない」という疑念を取り払い、品質改善の効果が信頼できるかどうかを数値で評価できます。
これは、ISOや統計的品質管理（SQC）の考え方にも沿った重要な手法です。
まとめ
母比率の検定は、「全体（母集団）における割合が特定の値かどうか」を、標本データから統計的に検証する方法です。この記事では、母比率の検定について基礎から実践までをまとめました。
また、Pythonを使った計算方法も紹介し、ツールを活用して効率的に検定を行う方法も確認しました。
